Арни Вильхамссон родился 9 мая 1994 года в столице Исландии – Рейкьявике. Детство футболиста прошло в Исландии, а первые шаги в большом футболе он начал делать в команде «Брейдаблик» из маленького городка Коупавогюра, находящемся на западном побережье страны. С 2010 по 2014 год Арни принял участие в 61 матче высшего дивизиона, в которых он отметился 22 забитыми мячами. В 2010 году нападающий стал чемпионом Исландии, однако ни одного матча в составе команды ему провести не удалось. Заключительную часть сезона 2012 года Арни провел на правах аренды в футбольном клубе «Хаукар» (8 матчей, 1 гол).
В феврале 2015 года Арни Вильхамссону пришлось покинуть пределы своей родины и перейти в норвежский клуб «Лиллестрём». Сумма трансфера составила 150 000 евро. Дебют исландца в чемпионате Норвегии состоялся 7 апреля 2015 года. В норвежском клубе Арни отыграл два сезона (21 матч, 2 гола), после чего на правах аренды вернулся в родной «Брейдаблик».
В 2017 году Арни дебютировал в другом скандинавском чемпионате – чемпионате Швеции. За шведскую команду «Йёнчёпингс Сёдра» исландец выступал полтора сезона. Сезон 2017 года был провальным для клуба – «Йёнчёпингс Сёдра» покинул высший дивизион, а Вильхамссону удалось поразить ворота соперников всего один раз в 16 матчах.
Светлым пятном в 2017 году для Арни стал дебют в национальной сборной Исландии, однако матч, состоявшийся 8 февраля, против Мексики (0-1) остался единственным за сборную в карьере футболиста. Сезон 2018 года Арни начал в «Йёнчёпингс Сёдра» и в 12 матчах первого дивизиона Швеции забил 3 мяча.
7 августа 2018 года футбольным клубом «Йёнчёпингс Сёдра» было объявлено о расторжении контракта с Арни, а уже 4 сентября 2018 года в качестве свободного агента футболист присоединился к команде «Брук-Бет Термалица», на тот момент выступающей в первом дивизионе Польши. В сезоне 2018/19 исландец принял участие в пяти матчах за польский клуб и отметился всего одним забитым мячом.
В феврале 2019 Арни на правах аренды перешел в футбольный клуб «Черноморец» (Одесса). 2 марта 2019 года состоялся дебют Вильхамссона в чемпионате Украины, таким образом исландский нападающий стал первым представителем этого островного государства в УПЛ. Первый матч получился не слишком удачным — спустя 6 минут после выхода на поле, нападающий нарушил правила в своей штрафной площадке, чем заработал пенальти, решивший исход встречи не в пользу его новой команды – 0-1. Однако по итогам сезона стал лучшим новичком «моряков», забив 7 мячей в весенней части чемпионата.
После завершения сезона 2018/19 в УПЛ Арни Вильхамссон фактически находился без игровой практики до конца ноября 2019 года пока не перешел на правах свободного агента в украинский футбольный клуб «Колос» (Ковалевка) став первым легионером в истории команды. В сезоне 2019/20 Арни сыграл 10 матчей в УПЛ и забил 3 мяча. По итогам сезона команда смогла пробиться во второй отборочный раунд Лиги Европы, однако сыграть в этом турнире футболисту не удалось. Несмотря на действующий контракт, Вильхамссон убедил руководство клуба отпустить его домой по семейным обстоятельствам. Футболист тяжело переживал длительный разрыв с родными, а также со своей девушкой из-за пандемии коронавирусной инфекции COVID-19. Стоит отметить, что девушка Арни является профессиональной футболисткой и выступает за «Лион». Соглашение между нападающим из Исландии и футбольным клубом «Колос» было расторгнуто 4 сентября 2020 года. С этого времени Вильхамссон находится в статусе свободного агента.
Арни является нападающим, который хорошо действует в глубине, уверен в комбинационной игре и хорошо завершает атаку как в штрафной, так и за ее пределами. Основное амплуа – левый вингер, также неплохо действует на позициях центрального, а также оттянутого нападающего. Рост футболиста – 181 см, вес – 76 кг. Ориентировочная стоимость нападающего по оценкам Transfermarkt – 500 000 евро.
